Optativa de Doctorado y Licenciatura en Cs. Matemáticas

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DE ARAKELOV

Docente: Martín Sombra (ICREA & Universidad de Barcelona, España)
Carga horaria: 4hs semanales
Prerrequisitos: álgebras II & III, nociones de geometría algebraica y de teoría de números
Contacto antes de la fecha de inicio: via mail a sombra@ub.edu o via la Prof. T. Krick (Dto. Matemática, FCEyN)
 Fechas de inicio: Martes 9/11/2010
Horarios y aulas: Martes y Jueves de 14hs a 16hs en el Aula 4 (Pabellón I)

Le geometría de Arakelov tiene su origen en el estudio de las ecuaciones diofánticas por métodos álgebro-geométricos. Dado un esquema X sobre el anillo de enteros ℤ, un procedimiento habitual en teoría de números consiste en estudiar su reducción módulo diversos primos p.

En geometría de Arakelov, se considera además la variedad compleja X(ℂ) munida de un fibrado hermítico. Ésto ha permitido extender a esquemas sobre ℤ diversas construcciones algebraicas, en particular los grupos de Chow y la teoría de la intersección. Estas herramientas conducen a la noción de altura para subvariedades de X y en particular para puntos, lo cual es de importancia fundamental en el estudio de ecuaciones diofánticas.

Recientemente, el estudio de la geometría de Arakelov de variedades tóricas a permitido explicitar muchos de los objetos y resultados abstractos de esta teoría, en términos de invariantes de la geometria simpléctica y tropical.

En este curso, introduciremos las nociones y resultados básicos de la geometría de Arakelov, con particular énfasis en el caso de variedades toricas.

  1. Teoría arquimediana: fibrados de líneas metrizados, clases de Chern, altura local, fórmula de cambio de sección.
  2. Teoria no-arquimediana: modelos enteros de variedades, reducción, métricas p-ádicas sobre un fibrado de líneas. Altura local y fórmula de cambio de sección.
  3. Variedades aritméticas: métricas adélicas y altura global. Definición alternativa de la altura via formas de Chow.
  4. Variedades tóricas: construcción por abanicos y por polítopos. Fibrados de líneas metrizados y aplicación momento asociada a una métrica.
  5. Dualidad de Legendre–Fenchel de funciones convexas.
  6. Geometría de Arakelov de variedades tóricas: explicitación de métricas, medidas y alturas.

Bibliografía

[1]    J.-B. Bost, H. Gillet, C. Soulé, Heights of projective varieties and positive Green forms, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994) 903-1027.

[2]    J.I. Burgos, P. Philippon, M. Sombra, Height of toric varieties and Legendre–Fenchel duality, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 347 (2009) 589–594.

[3]    J.I. Burgos, P. Philippon, M. Sombra, Toric varieties in Arakelov Geometry. Draft, 113 pp..

[4]    W. Fulton, Introduction to toric varieties. Princeton Univ. Press, 1993.

[5]    M. Hindry, J. Silverman, Diophantine geometry. An introduction. Springer, 2000.

[6]    S. Lang, Introduction to Arakelov theory, Springer-Verlag, 1988.

[7]    C. Soulé, Lectures on Arakelov geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992.

Última actualización 15/10/2010