Seminario orientado a alumnos de doctorado y licenciatura en matematica

GEOMETRÍA DIOFÁNTICA

Docente: Martín Sombra (Universidad de Barcelona, España)
Carga horaria: 4hs semanales
Inicio: martes 9/10/2007
Prerrequisitos: Álgebra III. Además es indispensable tener interés (aunque no conocimientos!) en la geometría algebraica y la teoría de números 
Contacto antes de la fecha de inicio: via mail a sombra@ub.edu, o via el Prof. A. Pacetti o la Prof. T. Krick (Dto. Matemática, FCEyN)
Horarios y aulas: martes de 14hs a 16hs en el aula 12 y viernes de 15hs a 17hs en el aula 13 

La geometría diofántica consiste básicamente en el estudio de ecuaciones polinomiales sobre los enteros o los racionales. Siguiendo el principio general: "la geometría determina la aritmética", las ecuaciones diofánticas están gobernadas por la geometría de la variedad algebraica subyacente,

Uno de los objetivos de este curso es el estudio de la geometria diofántica de las subvariedades del grupo multiplicativo, en particular la distribución de los puntos de torsion y de altura chica. Como una aplicación, estudiaremos la ecuación de unidades y ciertas ecuaciones diofanticas.

De manera más general, nuestro objetivo será el de estudiar la noción de altura, central dentro de esta teoría tanto para los aspectos cualitativos como para los cuantitativos. La altura de un objeto aritmético (punto, variedad, polinomio, etc.) es una medida de su complejidad, pero al mismo tiempo puede interpretarse como un análogo aritmético del grado. Esta doble función la convierte en una herramienta importante para la transferencia de resultados geométricos al contexto aritmético.
  1. Altura. Valores absolutos. Extensiones finitas. La fórmula del producto. Alturas en el espacio proyectivo. Medida de Mahler.
  2. El problema de Lehmer. Teorema de Dobrowolski. Altura de puntos en extensiones abelianas.
  3. Altura en dimensión superior. Altura de variedades. Teorema de Bézout aritmético. Fórmula de Hilbert-Samuel aritmética. Mínimo esencial. Teorema de mínimos algebraicos sucesivos.
  4. La ecuación de unidades. Número de soluciones. Aplicación las ecuaciones de tipo Thue-Mahler o hiperelíptico.
  5. Distribución de puntos en subvariedades del grupo multiplicativo. Puntos de torsión (ex-conjetura de Manin-Mumford). Lemas de ceros. Problemas de Bogomolov y de Lehmer en dimensión positiva. Equidistribución.

Bibliografía

  1. F. Amoroso: Minoration de points de petite hauteur dans une puissance du groupe multiplicatif. Notas de un curso DEA, 2000-2001. http://www.math.unicaen.fr/~ pontreau/Documents/coursDEA.pdf .
  2. F. Amoroso, S. David: Minoration de la hauteur normalisée dans un tore. J. Inst. Math. Jussieu 2 (2003) 335-381.
  3. E. Bombieri, W. Gubler: Heights in Diophantine geometry. Cambridge Univ. Press, 2006.
  4. G. Everest, T. Ward: Heights of polynomials and entropy in algebraic dynamics. Springer, 1999.
  5. M. Hindry, J. Silverman: Diophantine geometry. An introduction. Graduate Texts in Math. 201, Springer, 2000.

Ultima actualización: 5 Jul/2007